应用灰色马尔科夫模型预测路面使用性能

苏卫国　李绍杰

摘要：为了提供更加准确的路面使用性能预测方法，提出了一种基于灰色模型并用马尔科夫链进行修正的灰色马尔科夫模型。结合工程实例对该方法的实用性和准确性进行检验，结果表明：灰色马尔科夫模型能够在已知历史资料的基础上对路面使用性能进行比较准确的预测，且和单一的灰色GM（1，1）模型相比具有更高的预测精度。

关键词：灰色理论；马尔科夫模型；路面使用性能；预测

中图分类号：U416.21文献标志码：B

Abstract： In order to provide a more accurate method for pavement performance prediction， the greymarkov model based on the grey model and modified by Markov chain was proposed. The applicability and accuracy of the method were tested by the engineering examples. The results show that the greymarkov model makes accurate prediction of pavement performance based on the known historic data. Compared with the single grey GM（1，1） model， the greymarkov model possesses higher precision of prediction.

Key words： grey theory； Markov model； pavement performance； prediction

0引言

在道路運营过程中，路面的使用性能会因为路面环境的不断变化以及交通荷载的重复作用而不断下降，且随时间推移呈现出某种衰减规律，路面使用性能的预测就是研究各种因素作用下的路面使用性能的变化规律[1]。这种规律受自然条件、社会环境、人为因素等多方面的影响，表现出一定的随机性和动态性。灰色系统理论在预测变化趋势较为明显的时间序列中能表现出较高的精度，但是对于随机波动性大的时间序列预测则表现出比较低的精度。马尔科夫链针对随机变化的系统表现出比较好的预测性能，这恰好能弥补传统灰色模型在这一方面的不足。路面使用性能随时间变化的过程是一个非平稳过程，这并不符合作为马尔科夫链研究对象的条件，故本文通过灰色GM（1，1）模型对其进行拟合，以满足马尔科夫链的要求[24]，为路面使用性能的预测提供一种新的有效方法。

1灰色马尔科夫理论

1.1GM（1，1）模型

在灰色系统理论中，根据系统信息已知程度的不同将系统分为3种，分别是“白色系统”、“灰色系统”、“黑色系统”。若系统的信息均已知，那么就将该系统称为“白色系统”；若系统信息部分已知、部分未知，那么就将该系统称为“灰色系统”；如系统信息均为未知，那么就将该系统称为“黑色系统”。对于路面使用性能预测问题而言，系统信息包含路面使用性能的历史资料、交通荷载因素、环境影响因素、人为因素等诸多信息。该系统信息部分已知、部分未知，构成了一个较为复杂的灰色系统，因此路面使用性能的预测问题可以采用灰色系统理论来进行求解[57]。

灰色系统理论建模的基本思想是：将白色信息序列按照一定规律组成动态、非动态的白色模块，再通过一定的算法求解将来的灰色模型。灰色模型的求解过程是一个系统白度不断提高的过程，随着系统白度的不断提高，其发展变化规律也会逐渐显现。灰色理论模型是建立在把离散的时间序列拟合为一阶线性微分方程的基础之上的。GM（1，1）模型的变量只有一个，较为简单，容易被人们理解和接受，在灰色系统理论的预测模型中是应用得比较广泛的一种。在建模过程中，GM（1，1）模型并不是对系统中的所有因素进行分析拟合，而是对系统中的主要因素进行分析拟合并预测，以生成的函数作为预测的基础。GM（1，1）模型所采用的建模数据并非是所收集的原始历史数据序列，而是通过累加变换得到的新的数据序列。具体建模过程和运算步骤如下。

1.2马尔科夫模型

马尔科夫预测模型是一种随机的、变化的数学过程，建模的核心在于掌握系统状态转移规律。马尔科夫概率预测模型的基本思想是分析研究系统现状，利用马尔科夫链求解得出系统将来可能变化所至的某特定状态的概率[812]。因为该数学过程有一定的随机离散特性，所以需要采用数学概率来定量表述系统状态转移的可能性大小。定义St为系统在时刻t所处的状态，若在t=i时刻的状态Si为已知，那么在未来的某个t=i+1时刻系统所能达到的某种状态Si+1只与t=i时刻的状态Si有关，而与之前的状态没有关系，即马尔科夫链可以看成是一种无后效性的离散随机过程。定义Pij为系统由状态Si经过一次转移到状态Sj的概率，当系统存在n种状态，把这些状态组合在一起后所构成的矩阵P称之为状态转移矩阵。

2应用实例

2.1预测指标选取

如今使用最多的路面结构主要有2种——水泥路面和沥青路面，本文选广东省某路段水泥路面作为研究对象进行分析。评价水泥路面状况的指标有很多，包含路面状况指数（PCI）、断板率（DBL）、弯沉等。当用断板率来评价路面时，由于相同断板率下，不同损坏程度所对应的路面损坏差异非常大，因此断板率和路面损坏状况的相关性不强。水泥路面的弯沉值是一个平均值，因此容易掩盖弯沉值较大的板块，所以采用弯沉值来衡量水泥路面的好坏也不合适。路面状况指数PCI可以综合反映混凝土路面各方面的性能，如混凝土面层的不同破坏类型、破坏范围和破损严重程度等，能够将水泥路所处的路面破损状况最直接地反映出来，所以本文采用PCI作为示例中水泥路面的预测指标[1718]。

2.2路面状况指数GM（1，1）模型

收集广东省某路段水泥路面2006～2015年的路面使用性能数据，选取PCI数值作为原始数据序列，其中以2006～2013年的PCI数据作为建模数据，2014～2015年PCI数据作为检验模型优劣的标准。2006～2015年某路段水泥路面PCI数据如表1所示。

由表5可知，2014年（本文来自范文文库网网www.damishu.cn）和2015年PCI的GM（1，1）预测值残差处于3种状态的概率是不一样的，2014年（本文来自范文文库网网www.damishu.cn）预测值残差所对应的状态向量中，残差状态处于状态1的概率最大为0.5，所以选择状态1所对应的误差区间[0.5%，1.5%]的中值1%对GM（1，1）模型预测值进行修正，修正方式如式（14）所示，修正后得到的2014年（本文来自范文文库网网www.damishu.cn）水泥路面PCI预测值为66.1。2015年预测值残差所对应的残差状态向量中，残差状态处于状态1的概率最大为0.375，同理选择状态1所对应区间[0.5%，1.5%]的中值1%对GM（1，1）模型预测值进行修正，修正后得到的2015年水泥路面PCI预测值为63.2。根据式（11）分别计算GM（1，1）预测模型和灰色马尔科夫模型的预测残差比率，2种预测模型的预测值及相应的残差比率计算结果如表6所示。

3结语

本文运用灰色马尔科夫链路面使用性能预测模型，对广东省某地区水泥路面的PCI进行了预测分析，得出如下结论。

（1）路面使用性能的预测受到各方面不同因素的影响，具有随机性和波动性。在具有一定历史数据的条件下，通过建立灰色马尔科夫模型，借助Matlab计算求解，验证了该模型能够达到比较高的预测精度。

（2）灰色马尔科夫模型是基于马尔科夫链对灰色模型进行修正，实例表明单一的GM（1，1）模型对路面使用性能的预测也能达到一定精度，但是经过马尔科夫链修正后的预测结果更加准确，实用性更强。

（3）在实际工程中，采用灰色马尔科夫模型对水泥路面使用性能进行预测是可行的，本文虽然以路面状况指数PCI的预测为例，但也适用于路面使用性能其他指标的预测。实例证明这一模型具有较高的实际应用价值。

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[责任编辑：杜敏浩]